L’infini est un concept qui, historiquement, est apparu conjointement avec le problème dit de “Achille et la tortue”, formulé par Zénon d'Élée au 5ième avant notre ère.

L’infini est avant tout une idée, ça n’est ni une propriété physique, ni une réalité tangible. L’infini est juste une abstraction.

Le problème tel que formulé initialement, nécessite effectivement la création d’une nouvelle idée, parce que rien dans l’histoire de l’humanité précédent cette formulation, ne semblait ressembler de près ou de loin à cet “infini”.

Or on sait depuis le temps résoudre l’apparent paradoxe : Mathématiquement, on voit que c’est le modèle qui fait apparaître un nombre infini d’étapes, alors que la réalité de l’expérience décrite, n’en contient pas. C’est à dire que le mouvement non divisé est bel et bien fini, c’est bien le modèle qui a divisé le mouvement en un nombre infini d’étapes. Le modèle est mauvais, car il ne décrit pas correctement le mouvement considéré.

Un physicien dirait qu’en physique, quand un infini apparaît dans les calculs, c’est qu’on s’est trompé quelque part.

Car l’infini, n’existe en réalité, pas.

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Démonstration :

1/ Si je te dis : “Tous les jours, je vais te donner 0€. Question : au bout de combien de jours auras-tu reçu 5€ de ma part ?”. Si tu me réponds “au bout d’un temps infini !”, il me faudra réfuter cette réponse. En effet, d’où est-ce que ces euros viendraient ? Si je ne les ai pas, ils ne vont pas apparaître ex-nihilo.

Donc la seule réponse valable, c’est qu’il n’y a pas de réponse. Autrement dit “jamais” tu n’auras reçu 5€ de ma part. Soit. Mais continuons :

2/ Maintenant, peux-tu répondre à cette question-là : “Si je prends 5€ de ma poche et que je les divise un nombre infini de fois et que je te donne tous les morceaux, question : quel est le montant d’un seul morceau ?”

On voit bien que si tu veux répondre toute valeur autre que “0€”, on peut réfuter ta réponse comme n’étant pas le résultat d’une division par l’infini, car toute valeur non nulle pourra être multipliée par une très grande valeur et donner en résultat le 5 attendu.

Mais l’infini par définition, n’est pas une valeur, c’est “au-delà” de toute valeur. Donc si on divise un nombre infini de fois, on doit arriver à un reste de zéro. C’est comme ça qu’on veut définir l’infini, c’est ce concept qui a cette propriété.

Or, ce faisant, on vient de briser le principe de commutativité : on vient de prouver que “0 × x = 5” n’a pas de solution pour x, mais que “5 ÷ x = 0” en aurait une : “infini”. Ceci rendrait les Mathématiques inconsistantes, en prouvant une chose et son contraire. On ne peut donc l’accepter.

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Pour sortir de ce paradoxe, plusieurs approches sont possibles.